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Teorema de Rolle
Enunciado:
Sea f una función que cumple las siguientes condiciones:
f es continua en el intervalo cerrado [a, b].
f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b).
f(a) = f(b).
Entonces, existe al menos un c en (a, b) tal que f'(c) = 0.
Demostración
Paso 1: Aplicación del teorema del valor extremo
Dado que f es continua en un intervalo cerrado [a, b], por el teorema del valor extremo, f alcanza tanto su valor mínimo como su valor máximo en este intervalo. Existen entonces dos puntos, digamos x1 y x2 en [a, b], donde f(x1) es el mínimo y f(x2) es el máximo de f en [a, b].
Paso 2: Evaluación de los extremos
Si tanto x1 como x2 son los puntos a o b, entonces el valor de f en a y en b debe ser el mismo y uniforme en todo el intervalo (pues no hay otro extremo alcanzado en el interior). En este caso trivial, cualquier punto c en (a, b) que escojamos cumplirá f'(c) = 0 si f es constante en [a, b] con f(x) = f(a) = f(b).
Paso 3: Suponer que los extremos no están en los bordes
Si alguno de los puntos x1 o x2 está en (a, b) (esto es, no en los bordes), por el teorema de Fermat (que dice que la derivada en un extremo local debe ser cero si la función es diferenciable en ese punto), tenemos que f'(x1) = 0 si x1 es un mínimo local, y f'(x2) = 0 si x2 es un máximo local. Dado que al menos uno de estos puntos está en (a, b), ya hemos encontrado al menos un punto c en (a, b) donde la derivada de f se anula.
Conclusión:
Por lo tanto, bajo las condiciones dadas, siempre podemos asegurar la existencia de al menos un punto c en el intervalo abierto (a, b) donde la derivada de f se anula, cumpliendo así con el teorema de Rolle.
Este teorema es crucial porque establece una condición clara para la existencia de puntos críticos bajo circunstancias específicas y es fundamental para derivar otros resultados importantes en cálculo.
